211service.com
Benfordův zákon a teorie všeho
V roce 1938 učinil fyzik Frank Benford mimořádný objev o číslech. Zjistil, že v mnoha seznamech čísel čerpaných z reálných dat je vedoucí číslice mnohem pravděpodobněji 1 než 9. Ve skutečnosti se rozdělení prvních číslic řídí logaritmickým zákonem. Takže první číslice bude pravděpodobně 1 asi 30 procent času, zatímco číslo 9 se objeví pouze v pěti procentech času.
To je znepokojující a kontraintuitivní objev. Proč nejsou čísla v takových seznamech rovnoměrně rozložena? Jednou z odpovědí je, že pokud čísla mají tento typ rozdělení, pak musí být měřítko invariantní. Přepnutím souboru dat měřeného v palcích na soubor měřený v centimetrech by se tedy rozdělení nezměnilo. Pokud je tomu tak, pak jediná forma, kterou takové rozdělení může mít, je logaritmická.
Ale i když je to silný argument, nijak nevysvětluje existenci distribuce.
Dále je tu skutečnost, že se Benfordův zákon zdá být použitelný pouze pro určité typy dat. Fyzici zjistili, že se vyskytuje v úžasné řadě souborů dat. Zde je jen několik: oblasti jezer, délky řek, fyzikální konstanty, indexy akciového trhu, velikosti souborů v osobním počítači a tak dále.
Existuje však mnoho souborů dat, které se neřídí Benfordovým zákonem, jako jsou loterie a telefonní čísla.
Jaký je rozdíl mezi těmito soubory dat, kvůli kterému platí Benfordův zákon nebo ne? Je těžké uniknout pocitu, že se musí dít něco hlubšího.
Dnes Lijing Shao a Bo-Qiang Ma na Pekingské univerzitě v Číně poskytují nový pohled na povahu Benfordova zákona. Zkoumají, jak se Benfordův zákon vztahuje na tři druhy statistických distribucí široce používaných ve fyzice.
Jsou to: Boltzmannovo-Gibbsovo rozdělení, které je mírou pravděpodobnosti používanou k popisu rozdělení stavů systému; Fermi-Diracovo rozdělení, které je mírou energií jednotlivých částic, které se řídí Pauliho vylučovacím principem (tj. fermiony); a konečně Bose-Einsteinovo rozdělení, míra energií jednotlivých částic, které se neřídí Pauliho vylučovacím principem (tj. bosony).
Lijing a Bo-Qiang říkají, že distribuce Boltzmann-Gibbs a Fermi-Dirac obě periodicky kolísají kolem Benfordova rozložení s ohledem na teplotu systému. Na druhé straně rozdělení Bose Einsteina odpovídá Benfordovu zákonu přesně bez ohledu na teplotu.
Co si o tomto objevu myslet? Lijing a Bo-Qiang říkají, že logaritmická rozdělení jsou obecným rysem statistické fyziky, a tak by mohly být fundamentálnějším principem za složitostí přírody.
To je zajímavá myšlenka. Je možné, že Benfordův zákon naznačuje nějakou základní teorii, která řídí povahu mnoha fyzikálních systémů? Možná.
Ale co potom se soubory dat, které nejsou v souladu s Benfordovým zákonem? Každé slušné vysvětlení bude muset vysvětlit, proč některé datové soubory dodržují zákony a jiné ne, a zdá se, že Lijing a Bo-Qiang jsou od toho tak daleko jako kdykoli předtím.
Ref: arxiv.org/abs/1005.0660 : Zákon o významných číslicích ve statistické fyzice